Муниципальный этап ВСОШ по математике 9-11 класс Москва 2025
10.1. Прямые y = ax и y = bx, a > 0, b > 0 пересекают прямую y = a соответственно в точках A и B. Найдите отношение a : b, если известно, что длина отрезка AB равна 4.
Ответ: ___________
10.2. В правильном 30-угольнике две соседние вершины покрасили в красный цвет, а остальные — в синий. Сколькими способами можно выбрать прямоугольный треугольник с одной красной и двумя синими вершинами?
Ответ: ___________
10.3. Артём записал на доске несколько натуральных чисел, а Саша для каждой пары чисел вычислил сумму их квадратов. Какое наибольшее количество различных чисел мог получить Саша, если оказалось, что все найденные им суммы — простые числа?
Ответ: ___________
10.4. На столе лежат 118 карточек с числами от 1 до 118. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Ответ: ___________
10.5. В прямоугольном треугольнике ABC (∠ABC = 90°), на сторонах BC и AC отмечены точки D и E соответственно так, что CD = DE. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABE лежит на биссектрисе угла BDE.
Ответ: ___________
ОТВЕТЫ НА МАТЕМАТИКЕ УЖЕ ТУТЗадания для 11 класса
11.1. В правильном 30-угольнике одну вершину покрасили в красный цвет, а остальные — в синий. Сколькими способами можно выбрать прямоугольный треугольник с одной красной и двумя синими вершинами?
Ответ: ___________
11.2. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, ..., 99, 100 и 102. За одну операцию можно выбрать несколько чисел, среднее арифметическое которых — целое число, стереть эти числа и вместо них записать на доску их среднее арифметическое. За какое наименьшее число операций можно оставить на доске только одно число?
Ответ: ___________
11.3. Дан непрямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, O₁, O₂, O₃, O₄ — соответственно центры граней A₁B₁C₁D₁, AA₁B₁B, BB₁C₁C, CC₁D₁D, DD₁A₁A. Известно, что углы O₁O₂O₃ и O₂O₃O₄ — прямые. Докажите, что четырёхугольник O₁O₂O₃O₄ — прямоугольник.
Ответ: ___________
11.4. Какие значения может принимать сумма cos 2x + cos 2y + cos 2z, если известно, что выполняются равенства cos 2x = tg y + 1, cos 2y = tg z + 1, cos 2z = tg x + 1?
Ответ: ___________
11.5. На столе лежат 170 карточек с числами от 1 до 170. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10 или на число, делящееся на 11. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Ответ: ___________
напиши только условия задач без ответов больше ничего не меняй
10.1. Прямые y = ax и y = bx, a > 0, b > 0 пересекают прямую y = a соответственно в точках A и B. Найдите отношение a : b, если известно, что длина отрезка AB равна 4.
10.2. В правильном 30-угольнике две соседние вершины покрасили в красный цвет, а остальные — в синий. Сколькими способами можно выбрать прямоугольный треугольник с одной красной и двумя синими вершинами?
10.3. Артём записал на доске несколько натуральных чисел, а Саша для каждой пары чисел вычислил сумму их квадратов. Какое наибольшее количество различных чисел мог получить Саша, если оказалось, что все найденные им суммы — простые числа?
10.4. На столе лежат 118 карточек с числами от 1 до 118. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
10.5. В прямоугольном треугольнике ABC (∠ABC = 90°), на сторонах BC и AC отмечены точки D и E соответственно так, что CD = DE. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABE лежит на биссектрисе угла BDE.
11.1. В правильном 30-угольнике одну вершину покрасили в красный цвет, а остальные — в синий. Сколькими способами можно выбрать прямоугольный треугольник с одной красной и двумя синими вершинами?
11.2. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, ..., 99, 100 и 102. За одну операцию можно выбрать несколько чисел, среднее арифметическое которых — целое число, стереть эти числа и вместо них записать на доску их среднее арифметическое. За какое наименьшее число операций можно оставить на доске только одно число?
11.3. Дан непрямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, O₁, O₂, O₃, O₄ — соответственно центры граней A₁B₁C₁D₁, AA₁B₁B, BB₁C₁C, CC₁D₁D, DD₁A₁A. Известно, что углы O₁O₂O₃ и O₂O₃O₄ — прямые. Докажите, что четырёхугольник O₁O₂O₃O₄ — прямоугольник.
11.4. Какие значения может принимать сумма cos 2x + cos 2y + cos 2z, если известно, что выполняются равенства cos 2x = tg y + 1, cos 2y = tg z + 1, cos 2z = tg x + 1?
11.5. На столе лежат 170 карточек с числами от 1 до 170. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10 или на число, делящееся на 11. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
